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波斯王子选妃的数学题

发布时间:2017-07-31 作者:何峰 【中伊商旅网】

先来看一看我们的主人公波斯王子面临着怎样的问题:

波斯王子到了适婚年龄,要选妃子。候选女子100名,都是王子没有见过的。百人以随机顺序,从王子面前逐一经过。每当一位女子在王子面前经过时,王子要么选她为妃,要么不选。如果选了,其余那些还没有登场的女子就都遣散回家,选妃活动也 over 了。如果不选,当下这名女子就离开,也就是 pass 掉此人,下一人登场。被pass 掉的,王子不可以反悔再从选。规则是,王子必须在这百人中选出一人做妃子,也就是说,如果前99人王子都看不中的话,他必须选择第100名女子为妃,不管她有多么丑陋。

作为“波斯大臣”,我们的任务是,给王子设计选择方法,让他以最高概率选到百人中最美的女子为妃。


在此先说明一点:没有任何选择方法能够保证王子一定选择到最美的美女。对于任何选择方法,总存在某些出场的顺序,让帅哥与美女错过。所以,题目所问的,不是必胜的选法(因为不存在),而是概率最高的选法。

因为本文并不是要进行数学的头脑风暴,这里就直接给出答案了:最佳选法是 pass 掉最开始的 100/e 名女子(e = 2.718… 是自然对数,即 100/e 约等于 37)。但是记录下这 37 名女子中最貌美者。之后鱼贯而来的女子中,出现的第一位美貌超越所有前 37 人者,即刻选中。如果人都走光了,也没出现这么一位 意中人,那么就只好选择第 100 位女子。

而对于这个最佳选法,有着很有意思的数学推导,以及人生的思维模式。

其中的思维启示其中的思维启示

数学的推论且不论,这个答案背后是一个可为广泛应用的思考方法。王子选择的难处在于他不知道这百人的美貌程度是怎样分布的,是在怎样一个范围内。所以他最佳的策略是,pass 掉最初 37 位女子,但是把他们看成一个有代表性的样本,从而了解这百人相貌的大致分布。然后在这个认知的基础上进行选择。

真实的谈情说爱当然不是一个简单的选美。普通人也不能像波斯贵族那样要谁有谁。但是思维方法共通。假如你是一位女生,第一次恋爱的时候,也许你觉得男朋友不够细腻,不解风情。但你无法判断的是,是否天下男生大多如此,还是你特别倒霉碰到这样的极品。你唯有试过三个五个后,才能够对男性这个物种有个全局的判断。所以,当你和第一任男朋友分手后,大可不必悲天悯人,亦或对天下男人失望。正确的态度是:okay,我现在有一个 data point, 现在我来找些更多的 data points.

波斯王子的题目至少还教了我们另一点,就是哪怕你的方法是最优,你也永远不可能是每次都得到最漂亮的妃子。在最优化的选择方法下,王子也只有 40% 左右的可能性选择到最美的女人。就是说,如果这样选择十次,每次这百名女子以随机顺序出现,其中有6次,王子都会选到不是最美的那位。

生活就是有风险的,不可测的。这似乎是个打击,但也是一种释怀。尽人事,安天命。如果你按照一个正确的方法去做了,哪怕结果差强人意,这也并不是你的错。

逆向思维

我们可以从中学会的另一点是,如果我是作为被选的一方(就像那100名女子),timing 是至关重要的。以下是一个简单的多的题目:

如果你是这百名女子中的一名,并且你能够决定自己出场的名次,你会选择在什么时候出场,以最大提高自己被选的概率?

答案是第 38 名。你不会选择在 38 名之前,因为你被选的概率是零(假设我们的王子学过高等数学,知道最佳选法)。你也不会选择后于38,因为你前面每多一个人,就意味着多了一分王子选上她的机会。

如果你有一位意中人,你当然要努力去追求幸福,但你可能也要想一下,这是否是最好的 timing?

          原文作者何峰,由马汉航空改编整理